BINOMIO DE NEWTON

1)      Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.

2)      El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1.

3)      El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a este, aumenta 1.

4)      El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.

5)      El coeficiente de cualquier termino se obtiene multiplicando el coeficiente del termino anterior por el exponente de a en dicho termino anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término aumentado en 1

6)      El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.

Los resultados anteriores constituyen la ley del binomio, que se cumple para cualquier exponente entero y positivo como probaremos en seguida:

Esta ley en general se representa por medio de la fórmula:

Esta fórmula descubierta por newton nos permite elevar un binomio a una potencia cualquiera, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores.

Prueba por inducción matemática de la ley del binomio de newton

Vamos a probar que la del binomio se cumple  para cualquier exponente entero y positivo.

 La ley se cumple para:, obteniendo el resultado anterior

Multiplicando ambos miembros de la formula anterior por a+b (se multiplica primero por  a, después por b y se suman los productos) y combinando los términos semejantes se tendrá:

Por tanto, si la ley se cumple para un exponente entero y positivo cualquiera n también se cumple para n+1.

Cuando el segundo termino del binomio es negativo, los signos del desarrollo son alternativamente + y -. por lo tanto podemos escribir:

  

 El ultimo termino sera positivo si n es par y negativo si n es impar. en el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio los denominadores de los coeficientes puede escribirse, si se desea, como factoriales. asi 1*2 puede escribirse 2!; 1*2*3= 3!, etcetera.

Ejercicios