jueves, 16 de diciembre de 2010

BINOMIO DE NEWTON

1)      Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.
2)      El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero, disminuye 1.
3)      El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a este, aumenta 1.
4)      El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.
5)      El coeficiente de cualquier termino se obtiene multiplicando el coeficiente del termino anterior por el exponente de a en dicho termino anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término aumentado en 1
6)      El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio.

Los resultados anteriores constituyen la ley del binomio, que se cumple para cualquier exponente entero y positivo como probaremos en seguida:


Esta ley en general se representa por medio de la fórmula:


Esta fórmula descubierta por newton nos permite elevar un binomio a una potencia cualquiera, directamente, sin tener que hallar las potencias anteriores.

Prueba por inducción matemática de la ley del binomio de newton

Vamos a probar que la del binomio se cumple  para cualquier exponente entero y positivo.

 La ley se cumple para:, obteniendo el resultado anterior

Multiplicando ambos miembros de la formula anterior por a+b (se multiplica primero por  a, después por b y se suman los productos) y combinando los términos semejantes se tendrá:



Por tanto, si la ley se cumple para un exponente entero y positivo cualquiera n también se cumple para n+1.

Cuando el segundo termino del binomio es negativo, los signos del desarrollo son alternativamente + y -. por lo tanto podemos escribir:

  
 El ultimo termino sera positivo si n es par y negativo si n es impar. en el desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio los denominadores de los coeficientes puede escribirse, si se desea, como factoriales. asi 1*2 puede escribirse 2!; 1*2*3= 3!, etcetera.


Ejercicios




sábado, 11 de diciembre de 2010

BIOGRAFIA DE ISAAC NEWTON



Nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra. En esa fecha el calendario usado era el juliano y correspondía al 25 de diciembre de 1642. día de Navidad. El parto fue prematuro aparentemente y nació tan pequeño que nadie pensó que lograría vivir mucho tiempo. Su vida corrió peligro por lo menos una semana, fue bautizado recién el 1 de enero de 1643, 12 de enero en el calendario gregoriano.
La casa donde nació y vivió su juventud se ubica en el lado oeste del valle del río Witham, más abajo de la meseta de Kesteven, en dirección a la ciudad de Grantham. Es de piedra caliza gris, el mismo material que se encuentra en la meseta. Tiene forma de una letra T gruesa en cuyo trazo más largo se encuentra la cocina y el vestíbulo y la sala se encuentra en la unión de los dos trazos.3 Su entrada es descentrada y se ubica entre el vestíbulo y la sala y se orienta hacia las escaleras que conducen a dos dormitorios del piso superior.
Sus padres fueron Isaac Newton y Hannah Ayscough, dos campesinos puritanos. No llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvió a casarse con Barnabas Smith que no tenía intención de cargar a un niño de tres años, lo dejó a cargo de su abuela, con quien vivió hasta la muerte de su padrastro en 1653. Este fue posiblemente un hecho traumático para Isaac, constituía la perdida de la madre no habiendo conocido al padre. A su abuela nunca le dedicó un recuerdo cariñoso y hasta su muerte paso desapercibida. Lo mismo ocurrió con el abuelo que pareció no existir hasta que se descubrió que también estaba presente en la casa y correspondió al afecto de Newton de la misma forma, lo desheredó.
Escribió una lista de sus pecados e incluyó uno particular: "Amenazar a mi padre y a mi madre Smith con quemarlos a ellos y a su casa". Lo hizo nueve años después del fallecimiento del padrastro lo que comprueba que la escena quedó grabada en el recuerdo de Newton. Las acciones del padrastro, que se negó a llevarlo a vivir con el hasta que cumplió diez años podrían motivar este odio.
Cuando Barnabas Smith falleció, su madre regresó al hogar familiar acompañada por dos hijos que tuvo con este señor, pero la unión familiar duro solamente menos de dos años, Isaac fue enviado a estudiar al colegio The King's School en Grantham a la edad de doce años. Lo que se sabe de esta etapa es que estudió latín y más latín, algo de griego y lo básico de geometría y aritmética. Era el programa habitual de estudio de una escuela primaria en ese entonces. Su maestro fue Mr. Stokes, que tenía buen prestigio como educador.
En 1659 compró un cuaderno, libro de bolsillo llamado en ese entonces, en donde en la primer página escribió en latín "Martij 19, 1659", lo que significa el período entre 1659-1660 coincidiendo con el período de su regreso a su ciudad natal y la mayor parte de sus escritos están dedicados a "Utilissimum prosodiae supplementum", años después en la colección Keynes del King's College se encuentra una edición de Pindaro con la firma de Newton y fechado en 1659. En la colección Babson aparece una copia de las metamorfosis de Ovidio fechadas ese mismo año.
Los estudios primarios fueron de gran utilidad para Newton, los trabajos sobre matemáticas estaban escritos en latín, al igual que los escritos sobre filosofía natural. Los conocimientos de latín le permitieron entrar en contacto con los científicos europeos. La aritmética básica difícilmente hubiese compensado un nivel deficiente de latín.8 En esa época otra materia importante era el estudio de la Biblia y se leía en lenguas clásicas apoyando el programa clásico de estudios y ampliando la fe protestante de Inglaterra.
 En el caso de Isaac el estudio de este tema unido a la biblioteca que lego de su padrastro le pudo haber hecho iniciar un viaje imaginario a extraños mares de la Teología.
En su estadía en Grantham se hospedó en la casa de Mr. Clark en la calle High Street junto a la George Inn. Tenía que compartir el hogar junto a otros tres niños, Edward, Arthur y una niña, hijos del primer esposo de la mujer de Mr. Clark. Por la infancia que tuvo, Isaac parecía no congeniar con otras personas de su edad. El haber crecido en un ambiente de aislamiento con sus abuelos y la posible envidia que le causaba a sus pares su superioridad intelectual le provocaban dificultades y lo llevaba a realizar travesuras varias que después negaba haber hecho.10 Uno de sus amigos, William Stukeley se dedicó a reunir información sobre Newton en su estancia en Grantham y concluyó que los niños lo encontaban demasiado astuto y pensaban que se aprovechaba de ellos debido a su rapidez mental muy superior a la de ellos.
Además estas anécdotas demostraron que prefería las compañía femenina. Para una amiga, Miss Storer varios años más joven que el construyó muebles de muñecas utilizando las herramientas con mucha habilidad. Además pudo haber un romance entre los jóvenes cuando fueron mayores. Según los registros conocidos, pudo haber sido la primera y posiblemente la última experiencia romántica con una mujer en su vida. Más adelante Miss Storer se casó con un hombre apellidado Vincent y paso a conocerse como Mrs Vincent y recordaba a Newton como un joven silencioso y pensativo.
Tuvo un incidente con un compañero que posiblemente fuese Arthur Storer. Le aplicó una patada en el estómago, supuestamente como represalia a alguna broma de Newton. Este no pudo olvidar nunca este hecho, en este tiempo no había podido afirmar su poder intelectual, a causa de la deficiente formación escolar o porque nuevamente estaba solo y asustado, estaba relegado al último banco. Según el relato de Conduitt ni bien finalizó la clase, Newton reto a una pelea al otro niño en el patio de la iglesia para devolverle el golpe. El hijo del maestro se acercó a ellos y azuzo la pelea palmeandole la espalda a uno y guiñándole el ojo al otro. Aunque Newton no era tan fuerte como su rival tenía mayor decisión y golpeó al otro hasta que se rindió y declaro que no pelearía más. El hijo del maestro le pidió a Isaac que lo tratara como a un cobarde y le restregara la nariz contra la pared. Entonces Isaac lo agarro de las orejas y golpeó su cara contra uno de los lados de la iglesia.
Además de ganarle en la pelea, Isaac se esmeró en derrotarlo académicamente y se convirtió en el primer alumno de la escuela. Y además fue grabando su nombre en todos los bancos que ocupó. Aún se conserva un alféizar de piedra con su nombre.
En las anécdotas de Stukeley ya se reconocía el genio de Newton y la gente recordaba sus raros inventos y su gran capacidad para los trabajos mecánicos. Lleno su habitación de herramientas que adquiría con el dinero que su madre le daba. Fabricó objetos de madera, muebles de muñecas y de forma especial maquetas. Además logro reproducir un molino de viento construido en esa época al norte de Grantham. El modelo replicado por Newton mejoró al original y funcionó cuando la colocó sobre el tejado. Su modelo estaba equipado con una noria impulsada por un ratón al que espoleaba. Newton llamaba al ratón el molinero.
Otras construcciones de Newton fueron un carro de cuatro ruedas impulsado por una manivela que el accionaba desde su interior. Otra fue una linterna de papel arrugado para llegar a la escuela en los oscuros días invernales y que además la usaba atada a la cola de un cometa para asustar a los vecinos durante la noche. Para poder realizar estas invenciones debía desatender sus tareas escolares y cuando retrocedía en los puestos y cuando esto ocurría volvía a estudiar y recuperaba las posiciones perdidas.15 Mucho de los aparatos que fabrico los saco del libro The Mysteries of Nature and Art de John Bate del cual tomo nota en otro cuaderno en Grantham que adquirió por el precio de 2,5 peniques en 1659. Allí tomo notas de ese libro sobre la técnica del dibujo, la captura de pájaros, la fabricación de tintas de diferentes colores entre otros temas. El molino de viento también está incluido en este libro.
Estudiaba las propiedades de los cometas, calculaba las proporciones ideales y los puntos más adecuados para ajustar las cuerdas. Además les regalaba linternas a sus compañeros y les comentaba sus estudios con el aparente propósito de ganarse su amistad, pero no dio resultado. Con estos procedimientos demostró su superioridad y los hizo sentir más alejados de el. El día de la muerte de Cromwell tuvo lugar su primer experimento. Ese día una tormenta se desencadenó sobre Inglaterra, y saltando primero a favor del viento y luego en contra, con la comparación de sus saltos con los de un día de calma midió la "fuerza de la tormenta". Les dijo a los niños que la tormenta era un pie más fuerte que cualquiera que hubiese conocido y les enseño las marcas que medía sus pasos. Además, según esta versión, utilizó la fuerza del viento para ganar un concurso de saltos, y la superioridad de su conocimiento lo hacía sospechoso.
Los relojes solares fueron otro pasatiempo en esta ciudad. En la iglesia de Colserworth existe uno que construyó a los nueve años. Los relojes solares eran un reto individual mayor al del manejo de herramientas. Lleno de relojes la casa de Clark, su habitación, otras habitaciones de la casa, el vestíbulo y cualquier otra habitación donde entrara el sol. En las paredes clavo puntas para señalar las horas, las medias, e incluso los cuartos, y ató a estas cuerdas con ruedas para medir las sombras en los días siguientes.
A los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge para continuar sus estudios. Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College como un estudiante mediocre debido a su formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.
En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como su primer profesor Lucasiano de matemática. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten. Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.